Человек работает по трудовому договору, платит 13% подоходный налог.

Налог платится не в органы социального страхования, поэтому и больничный не оплачивается. Работодатель обязан производить отчисления в ФСС, ПФР, что судя по всему не делает. Посмотрите по "письму счастья", производились ли отчисления от данного работодателя. Отчисляя налог 13% (это идет государству), он является лишь агентом, т.е. грубо говоря оказывает вам услугу. По поводу отпуска, работодатель нарушил статью 122 ТК РФ. Вам обязаны предоставлять оплачиваемые отпуска. Иначе копится компенсация за неиспользованный отпуск, которую при увольнении вам обязаны выплатить.